Question

10．假設學生在高中時數學成績和物理成績是線性相關的，若5個學生在高一下學期某次考試中數學成績x和物理成績y（總分100分）如下：

學生	A	B	C	D	E
數學	80	75	70	65	60
物理	70	66	68	64	62

（1）試求這次高一數學成績和物理成績間的線性回歸方程．
（2）若小紅這次考試的數學成績是52分，你估計她的物理成績是多少分呢？供參考的數據：80×70+75×66+70×68+65×64+60×62=23190；80²+75²+70²+65²+60²=24750．

Answer 1

分析 （1）設物理成績y與數學成績x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，求得樣本中心點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求得$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）}$=0.36，將樣本中心點代入即可求得$\widehat{a}$，求得線性回歸方程；
（2）將x=52代入回歸直線方程，得y=0.36×52+40.8=59.52，即可求得她的物理成績．

解答 解：（1）設物理成績y與數學成績x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，
由$\overline{x}$=$\frac{80+75+70+65+60}{5}$=70，…（2分）
$\overline{y}$=$\frac{70+68+66+64+62}{5}$=66，…（4分）
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}）}$=0.36，…（5分）
$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-0.36$\overline{x}$=40.8，
∴回歸方程為$\widehat{y}$=0.36x+40.8，…（7分）
（2）將x=52代入回歸直線方程，得y=0.36×52+40.8=59.52，
所以她的物理成績59.52．…（10分）

點評 本題考查線性回歸方程的應用，考查最小二乘法求線性回歸方程，考查計算能力，屬于中檔題．