Question

20．已知函數f（x）=x²+2ax+b，x∈[-1，1]．
（Ⅰ）用a，b表示f（x）的最大值M；
（Ⅱ）若b=a²，且f（x）的最大值不大于4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²關于直線x=-a對稱．∴-a≤0時，M=f（1）=1+2a+b，當-a＞0時，M=f（-1）=1-2a+b．
（Ⅱ）當a≥0時，M=1+2a+a²≤4，當a＜0時，M=1-2a+a²≤4即可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²+b-a²圖角關于直線x=-a對稱．
且增區間為[-a，+∞]，減區間為（-∞，-a]，又x∈[-1，1]…（3分）
∴-a≤0，即a≥0時，M=f（1）=1+2a+b
當-a＞0，a＜0時，M=f（-1）=1-2a+b
∴$M=\left\{\begin{array}{l}1+2a+b\;，\;\;a≥0\;，\;\;\\ 1-2a+b\;，\;\;a＜0.\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）當a≥0時，M=1+2a+a²≤4，a²+2a-3≤0，0≤a≤1．…（9分）
  當a＜0時，M=1-2a+a²≤4，a²-2a-3≤0，-1≤a≤0．…（11分）
∴-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．…（12分）

點評 本題考查了二次函數的動軸定區間的最直問題，關鍵是要結合圖象及單調性，是基礎題．