Question

20．已知函數$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$．
（1）在下列坐標系中作出函數f（x）的大致圖象；
（2）將函數f（x）的圖象向下平移一個單位得到函數g（x）的圖象，點A是函數g（x）圖象的上一點，B（4，-2），求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）因為$f（x）=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$，故把函數y=$\frac{4}{x-2}$的圖象向上平移1個單位，可得函數$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的圖象，如圖所示．
（2）計算|AB|²=${[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]^2}-4[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]+16$，令$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=t$，可得|AB|²=t²-4t+16，利用二次函數的性質求得它的最小值．

解答 解：（1）因為$f（x）=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$，故把函數y=$\frac{4}{x-2}$的圖象向上平移1個單位，
可得函數$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的圖象，故函數$f（x）=\frac{x+2}{x-2}$的大致圖象如圖所示：

（2）依題意，函數$g（x）=\frac{4}{x-2}$，設$A（{{x_0}，\frac{4}{{{x_0}-2}}}）$，因為B（4，-2），
故${|{AB}|^2}={（{{x_0}-4}）^2}+{（{\frac{4}{{{x_0}-2}}+2}）^2}={（{{x_0}-2}）^2}-4（{{x_0}-2}）+4+{（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）^2}+\frac{16}{{{x_0}-2}}+4$=${[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]^2}-4[{（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）}]+16$，
令$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=t$，故|AB|²=t²-4t+16=（t-2）²+12≥12，當且僅當t=2時，
此時方程$（{{x_0}-2}）-（{\frac{4}{{{x_0}-2}}}）=2$有解，|AB|²取得最小值為12，故|AB|的最小值為$2\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查函數的圖象，二次函數的性質，求函數的最值，屬于中檔題．