Question

11．求y=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$（x＞-1）的值域．

Answer 1

分析 利用分離常數(shù)法求函數(shù)的值域．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（{e}^{x}+1）-\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$
∵x＞-1，
∴${e}^{x}+1＞\frac{1}{e}+1$
∴$\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＜$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$
∴-$\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＞-$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$．
∴y=$\frac{1}{2}$$-\frac{\frac{3}{2}}{{e}^{x}+1}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{\frac{2}{e}+2}$．
故得函數(shù)y的值域為（$\frac{1}{2}-\frac{3e}{2+2e}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．