Question

15．設a，b，c為△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊．
求證：a，b，c成等差數列的充要條件是：$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及二倍角的余弦函數以及兩角和與差的三角函數化簡方程，通過正弦定理求證結果．

解答 證明：充分性：由$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$
⇒a（1+cosC）+c（1+cosA）
=a+c+acosC+ccosA=3b
⇒a+c=2b⇒即a，b，c成等差數列
必要性：因為上每步均可逆，可得證必要性．

點評 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數，二倍角公式的應用，考查計算能力．