Question

已知圓C的圓心在直線y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）與圓C相切．求直線y=

7

x截圓M所得弦長．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）設出圓的一般方程，利用待定系數法即可求圓C的方程；
（2）根據圓與圓相切的條件，結合直線和圓心相交的弦長公式即可得到結論．

解答： 解：（1）設圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓心在直線y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圓C上，
∴

- E 2 =- D 2 -1 4+2D+F=0 18 5 + 9 5 D+ 3 5 E+F=0

，解得

D=-2 E=0 F=0

，
即圓C的方程為x²+y²-2x=0；
（2）∵圓M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）與圓C相切．
∴圓心M坐標為（0，2

2

），
圓C的標準方程為（x-1）²+y²=1，
圓心C坐標為（1，0），半徑R=1，
當兩圓外切時，|CM|=3=1+r，解得r=2，
當兩圓內切時，|CM|=3=r-1，解得r=4，
∵M當直線y=

7

x的距離d=

|2 2 |

7+1

=

2 2

2 2

=1，
∴當r=2時，直線y=

7

x截圓M所得弦長l=2

22-12

=2

3

，
∴當r=4時，直線y=

7

x截圓M所得弦長l=2

42-12

=2

15

．

點評：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線弦長公式的應用，利用兩圓相切的等價條件求出圓的半徑是解決本題的關鍵．