Question

已知函數f（x）=lnx+ax²-3x
（Ⅰ）若f′（2）=

3

2

，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a＞0時，設函數f（x）的2個極值點為x₁，x₂，若f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求導，代入求出a的值，再根據導數和函數的單調性的關系求出單調區間；
（Ⅱ）根據導數等于0，利用韋達定理，得到x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，由f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，整理化簡的ln（2a）=1，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax²-3x，
∴函數的定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=

1

x

+2ax-3，f′（2）=

3

2

，
∴

3

2

=

1

2

+4a-3
解得a=1，
∴f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，或x=1，
當f′（x）＞0，即0＜x＜

1

2

，或x＞1，
當f′（x）＜0，即

1

2

＜x＜1，
故函數的單調增區間為（0，

1

2

）∪（1，+∞），單調減區間為（

1

2

，1）．
（Ⅱ）∵f′（x）=

1

x

+2ax-3，函數f（x）的2個極值點為x₁，x₂，
令f′（x）=0，即

1

x

+2ax-3=0，
∴x₁，x₂是方程的2ax²-3x+1=0兩個根，
∴x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，
∵f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，
∴lnx₁+ax₁²-3x₁+lnx₂+ax₂²-3x₂=lnx₁•x₂+a[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]-3（x₁+x₂）=ln

1

2a

+a（

9

4a2

-

1

a

）-

9

2a

=-

9

4a

，
即ln（2a）=1，解得a=

e

2

點評：本題主要考查了導數和函數的單調性的關系，以及導數和函數極值點，韋達定理的有關問題，屬于中檔題