Question

已知直線l：ax+by+c=0被圓C：x²+y²=10截得的弦的中點為M，若a+3b-c=0，O為坐標原點，則
（1）點M的軌跡方程為

 

；
（2）|OM|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：直線與圓

分析：（1）根據直線和圓相交的性質，利用條件消去參數a，b，c即可得到結論．
（2）直線ax+by+c=0過定點N（-1，-3），根據點和圓的位置關系即可得到結論．

解答： 解：（1）若直線l：ax+by+c=0被圓C：x²+y²=10截得的弦的中點為M，
則滿足OM⊥l，
設M（x，y），
則

y

x

=

b

a

，即a=

bx

y

，
∵a+3b-c=0，
∴c=a+3b=

bx

y

+3b，
將a，c代入直線ax+by+c=0得

bx

y

x+by+

bx

y

+3b=0，
整理得x²+y²+x+3y=0，
故點M的軌跡方程為x²+y²+x+3y=0；
（2）∵M的軌跡方程為x²+y²+x+3y=0，a+3b-c=0，
∴-a-3b+c=0，
即直線l：ax+by+c=0過定點N（-1，-3），
而點N（-1，-3）在圓x²+y²=10上，
∴|OM|的最大值為

(1-0)2+(3-0)2

=

10

．
故答案為：x²+y²+x+3y=0，

10

．

點評：本題主要考查與圓有關的軌跡問題．利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．