Question

如圖所示，已知圓C：x²+y²=r²（r＞0）上點(1，

3

)處切線的斜率為-

3

3

，圓C與y軸的交點分別為A，B，與x軸正半軸的交點為D，P為圓C在第一象限內的任意一點，直線BD與AP相交于點M，直線DP與y軸相交于點N．
（1）求圓C的方程；
（2）試問：直線MN是否經過定點？若經過定點，求出此定點坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）根據條件結合點在圓上，求出圓的半徑即可求圓C的方程；
（2）根據條件求出直線MN的斜率，即可得到結論．

解答： 解：（1）∵

a

1

×(-

3

3

)=-1，
∴a=

3

．
∵點(1，

3

)在圓C：x²+y²=r²上，
∴r2=12+(

3

)2=4．
故圓C的方程為x²+y²=4．
（2）設P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4，
直線BD的方程為x-y-2=0，直線AP的方程為y=

y0-2

x0

x+2
聯立方程組

x-y-2=0 y= y0-2 x0 x+2

，得M（

4x0

x0-y0+2

，

2x0+2y0-4

x0-y0+2

），
易得N（0，

2y0

2-x0

），
∴k_MN=2X

2x0+2y0-4 x0-y0+2 - 2y0 2-x0

4x0 x0-y0+2

=

(2-x0)(2x0+2y0-4)-2y0(x0-y0+2)

4x0(2-x0)

=

4x0+4y0-8-2x02-2x0y0+4x0-2x0y0+2y02-4y0

4x0(2-x0)

=

-4x02+8x0-4x0y0

4x0(2-x0)

=

x0+y0-2

x0-2

，
∴直線MN的方程為y=

x0+y0-2

x0-2

x+

2y0

2-x0

，
化簡得（y-x）x₀+（2-x）y₀=2y-2x…（*）
令

y-x=0 2-x=0

，得

x=2 y=2

，且（*）式恒成立，故直線MN經過定點（2，2）．

點評：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓的位置關系的應用，考查學生的計算能力．