Question

已知雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），其離心率為e，直線l與雙曲線C交于A、B兩點，線段AB中點M在第一象限，并且在拋物線y²=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點距離為p，則直線l的斜率為（　　）

• A、

  e2-1

  2

• B、e ²-1
• C、

  e2+1

  2

• D、e ²+1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用拋物線的定義，確定M的坐標，利用點差法將線段AB中點M的坐標代入，化簡整理由離心率公式即可求得結論．

解答： 解：∵M在拋物線y²=2px（p＞0）上，
且M到拋物線焦點的距離為p，
則有拋物線的定義可得，x_M+

p

2

=p，
∴M的橫坐標為

p

2

，∴M（

p

2

，p），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=p，y₁+y₂=2p，
則

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
兩式相減，并將線段AB中點M的坐標代入，可得

p(x1-x2)

a2

-

2p(y1-y2)

b2

=0，
∴直線l的斜率為

y1-y2

x1-x2

=

b2

2a2

=

c2-a2

2a2

=

e2-1

2

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線與拋物線的綜合，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．