Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA=4．則三棱錐P-ABC的外接球表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,球內接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知結合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，代入R=

r2+d2

，可得球的半徑R

解答： 解：根據已知中底面△ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是邊長為2的正三角形，
∴△ABC的外接圓半徑r=

2

3

3

，
∴球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=2，故球的半徑R=

r2+d2

=

4

3

3

，
故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR²=

64

3

π
故答案為：

64

3

π

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，由題意明確三棱錐外接球是以△ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球，利用半徑公式R=

r2+d2

，是解答的關鍵．