Question

已知函數f（x）=mx³-x．
（1）討論單調區間；
（2）m=1時，求曲線f（x）在M（t，f（t））處的切線方程；
（3）m=1時，設a＞0，如果過點（a，b）時做曲線f（x）的三條切線，證明-a＜b＜f（a）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=3mx²-1，從而討論導數的正負以確定函數的單調性；
（2）m=1時，f′（x）=3x²-1，從而可得f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，從而寫出切線方程；
（3）結合（2）知，過點（a，b）的切線滿足b=（3t²-1）a-2t³；從而化為方程2t³-3at²+a+b=0有三個不同的實數根，從而由數形結合的思想求解．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²-1，
①當m≤0時，f′（x）=3mx²-1＜0恒成立，
故函數f（x）=mx³-x在R上是減函數；
②當m＞0時，
當x∈（-∞，-

3m

3m

）∪（

3m

3m

，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（-

3m

3m

，

3m

3m

）時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區間為（-∞，-

3m

3m

），（

3m

3m

，+∞）；
單調減區間為（-

3m

3m

，

3m

3m

）；
（2）m=1時，
f′（x）=3x²-1，
f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，
故切線方程為y-（t³-t）=（3t²-1）（x-t）；
化簡得，y=（3t²-1）x-2t³；
（3）證明：由（2）知，過點（a，b）的切線滿足
b=（3t²-1）a-2t³；
即方程2t³-3at²+a+b=0有三個不同的實數根，
記g（t）=2t³-3at²+a+b，
則g（t）=6t²-6at=6t（t-a），
故g（t）在t=0處有極大值a+b；在t=a處有極小值b-f（a）；
故由題意可得，
b-f（a）＜0＜a+b；
即-a＜b＜f（a）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及數形結合的思想應用，屬于中檔題．