Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，且對任意實數x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|恒成立，則|$\overrightarrow{a}$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，把所給的不等式平方可得m²+mx+x²≥m²-m+1，即為x²+mx+m-1≥0，根據二次函數的性質即可求出．

解答 解：設|$\overrightarrow{a}$|=m，m≥0，
由|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，得到|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，所以${\overrightarrow{a}}^{2}$+2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+x²${\overrightarrow{b}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，
得m²+mx+x²≥m²-m+1，
即x²+mx+m-1≥0，
又不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，
∴△=m²-4（m-1）=（m-2）²≤0，
解得m=2，
故選：C

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的運算，函數的恒成立問題，二次函數的性質應用，屬于中檔題．