Question

18．△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且a，b，c成等差數列．
（1）求∠B的最大值B₀；
（2）在（1）之下，求f（x）=sin（2x+B₀）+$\sqrt{3}$cos（2x+B₀）在[0，π]上的單調遞減區間與最值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的性質，正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，進而可得sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，（當且僅當A=C時取等號），結合范圍0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，可求∠B的最大值B₀．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可解得f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）單調遞減區間，結合范圍∈[0，π]，可求所求單調遞減區間，利用正弦函數的圖象和性質可求最值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵a，b，c成等差數列．
∴2b=a+c，由正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，
∴4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，…3分
∵sin$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{B}{2}$＞0，
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，（當且僅當A=C時取等號）
∴0＜sin$\frac{B}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∵0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0$＜B≤\frac{π}{3}$，
∴B₀=$\frac{π}{3}$．…6分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
又∵x∈[0，π]，
∴所求單調遞減區間為：[0，$\frac{5π}{12}$]和[$\frac{11π}{12}$，π]，…10分
∵0≤x≤π，
∴$\frac{2π}{3}$≤x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{5π}{3}$，
于是當x=$\frac{11π}{12}$時，f（x）_max=2，當x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）_min=-2．…12分

點評 本題主要考查了等差數列的性質，正弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質等知識的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．