Question

9．已知函數f（x）=sin²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x．
（1）求函數f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、兩角和公式和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，可得函數f（x）的解析式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到函數f（x）的值域．

解答 解：（1）函數f（x）=sin²x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
所以函數f（x）的解析式為簡$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；最小正周期T=π．
（2）由（1）得知$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，那么：$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）≤0$
∴函數f（x）的值域是$[{-\frac{1}{2}，0}]$．

點評 本題考查了三角函數圖象及性質的綜合運用能力和計算能力，對三角函數的理解，屬于基礎題．