Question

19．求實數a的取值范圍，使得關于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0分別滿足下列條件：
（1）有兩個不同的，且都大于1的實數根；
（2）至少有一個正實數根．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個不同的，且都大于1的實數根，等價于新方程（y+1）²+2（a-1）y+4a+5=0  有兩個大于0的實數根；（2）至少有一個正實數根的對立面為：無實數根或者有兩個負實數根，分別求出方程無實數根時與方程有兩個負實數根時a的取值，從而求得至少有一個正實數根時a的范圍．

解答 解：（1）令y=x-1，即x=y+1，那么原方程變為：（y+1）²+2（a-1）y+4a+5=0  ①
原方程有兩個大于1的實數根，等價于新的關于y的方程有兩個大于0的實數根．
方程①可簡化為：y²+2ay+4a+5=0，
令：h（y）=y²+2ay+4a+5，
也就是需要滿足h（0）＞0，對稱軸在右側，且△＞0，即：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+5＞0}\\{-a＞0}\\{△＞0}\end{array}\right.$    解得：-$\frac{5}{4}$＜a＜-1．
（2）至少有一個正實數根的對立面為：無實數根或者有兩個負實數根
當方程無實數根時，即：△＜0，
[2（a-1）]²-4（2a+6）＜0，解得：-1＜a＜5
當方程有兩個負實數根時，等價于①式兩根之積大于0，且兩根之和小于0，即：
2a+6＞0且-2（a-1）＜0，解得：a＞1
所以，至少有一個正實數根時，a≤-1．

點評 本題主要考查了一元二次函數方程與根的分布關系，屬基礎題．