Question

4．在圓x²+y²=4上取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足．
（1）當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？
（2）若直線y=x+$\frac{1}{2}$與（1）問中的點M的軌跡相交于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）設出M點的坐標，由M為線段PD的中點得到P的坐標，把P的坐標代入圓x²+y²=4整理得線段PD的中點M的軌跡方程；
（2）直線y=x+$\frac{1}{2}$與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯立可得5x²+4x-3=0，求出方程的解，再利用弦長公式進行計算即可．

解答 解：（1）設M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵M為線段PD的中點，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴軌跡C為橢圓，且方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直線y=x+$\frac{1}{2}$與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1聯立可得5x²+4x-3=0，∴x=$\frac{-2±\sqrt{19}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$$•\frac{2\sqrt{19}}{5}$=$\frac{2\sqrt{38}}{5}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．