Question

16．已知數列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）．
（1）證明：數列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數列；
（2）若33≤a_n＜193，求n的取值的集合．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），變形為：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=2，即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=（n+1）•2ⁿ．33≤a_n＜193，化為33≤1+（n+1）•2ⁿ＜193，解出即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），變形為：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=2，
∴數列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數列，首項為2，公差為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．
∵33≤a_n＜193，∴33≤1+（n+1）•2ⁿ＜193，
解得n=3，4，5．
∴n的取值的集合為{3，4，5}．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的定義與通項公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．