Question

6．遞增數列{a_n}是等差數列，a₂=4，a₄+a₆=20．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}公差為d＞0，由a₂=4，a₄+a₆=20可求得公差為d及數列{a_n}的通項公式；
 （2）由（1）知a_n=2n，由裂項法得$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4×$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而可求得數列$\left\{{\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和S_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}公差為d，則d＞0，
∵a₄+a₆=2a₅=20，
∴a₅=10，又a₂=4，
∴d=$\frac{{a}_{5}{-a}_{2}}{5-2}$=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+2（n-2）=2n；       
（2）∵$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數列的求和，突出考查裂項法的應用，求得數列{a_n}的通項公式是關鍵，屬于中檔題．