Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則直線PC與平面ABCD所成角的正切值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，AO，則可證明OP⊥平面ABCD，求出OP，OC即可求解直線PC與平面ABCD所成角的正切值．

解答 證明：取BD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，AO．
∵△PAB與△PAD都是等邊三角形，
∴設(shè)AB=AD=PB=PD=PA=1．
∴OP⊥BD，OA⊥BD，
又∠BAD=90°，∴OA=OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OA²+OP²=PA²，∴OP⊥OA．
∴OP⊥平面ABCD，又CO?平面ABCD，
∴OP⊥OC．
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}-2OB•BCcos∠OBC}$=$\sqrt{（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}+4-2×\frac{\sqrt{2}}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
直線PC與平面ABCD所成角的正切值為：tan∠POC=$\frac{PO}{OC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，計(jì)算能力的考查．