Question

13．已知函數f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）試討論f（x）在定義域上的單調性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，從而確定a的值即可．

解答 解　（1）由題得f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
當a＜0時，由f′（x）=0得x=-a，由f′（x）＞0得，x＞-a，由f′（x）＜0得，x＜-a，
∴當a＜0時，f（x）在（0，-a]上為減函數，在（-a，+∞）上為增函數．
（2）由（1）可知：f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此時f（x）在[1，e]上為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此時f（x）在[1，e]上為減函數，
∴f（x）_min=f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，∴a=-$\frac{e}{2}$（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a，當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數；當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-a，e）上為增函數，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$⇒a=-$\sqrt{e}$．
綜上可知：a=-$\sqrt{e}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．