Question

4．已知圓C和x軸相切，圓心在第三象限并在直線3x-y=0上，且被直線y=x截得的弦長為$2\sqrt{7}$
（1）求圓C的方程．
（2）已知直線l：ax+y+6=0與圓C沒有公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設圓心為（a，b），（a＜0，b＜0），半徑為r，則b=3a，r=-3a，求出圓心到直線的距離d=-$\sqrt{2}a$，由圓被直線x-y=0截得的弦長為2$\sqrt{7}$，利用勾股定理求出a=-1，由此能求出圓C的標準方程．
（2）由直線l：ax+y+6=0與圓C沒有公共點，知圓心C（-1，-3）到直線l的距離d大于半徑r，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）設圓心為（a，b），（a＜0，b＜0），半徑為r，
則b=3a，r=-3a，
圓心到直線的距離d=$\frac{|a-3a|}{\sqrt{1+1}}$=-$\sqrt{2}a$，
∵圓被直線x-y=0截得的弦長為2$\sqrt{7}$，
∴（-$\sqrt{2}a$）²+（$\frac{2\sqrt{7}}{2}$）²=（-3a）²，
即a²=1，解得a=-1，
則圓心為（-1，-3），半徑為3，
則圓C的標準方程（x+1）²+（y+3）²=9．
（2）∵直線l：ax+y+6=0與圓C沒有公共點，
∴圓心C（-1，-3）到直線l的距離d大于半徑r，
即d=$\frac{|-a-3+6|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＞3，
由-$\frac{3}{4}＜a＜0$．
∴a的取值范圍是（-$\frac{3}{4}$，0）．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，涉及到直線、圓、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．