Question

如圖，圓O為等腰梯形ABCD的外接圓，且AB∥CD，過點C作圓的切線CE交AB的延長線于E，證明：
（1）∠E=∠CAD
（2）AC²=CD•AE．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由已知條件推導出AD=BC，從而得到∠ACD=∠BAC．再由AE為圓的切線，能證明∠ECB=∠BAC，再由圓內接四邊形的性質，可得∠CBE=∠D，進而∠E=∠CAD；
（2）先證明△ACD∽△CAE，故AC•CE=CD•AE．再證明AC=CE，可得AC²=CD•AE．

解答： 證明：（1）∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴AD=BC． 
∴∠ACD=∠BAC，
∵AE為圓的切線，
∴∠ECB=∠BAC．
∴∠ACD=∠ECB．
又∵∠CBE=∠D，
∴∠E=∠CAD；
（2）∵AE為圓的切線，
∴∠ECA=∠CDA，
由（1）中∠ACD=∠BAC，
∴△ACD∽△CAE，
∴AC：AE=CD：CE
即AC•CE=CD•AE．
又∵∠E=∠CAD
∴AC=CE，
∴AC²=CD•AE．

點評：本題考查的知識點是弦切角定理，相似三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，難度中檔．