Question

在直角坐標系xoy中，動點P與定點F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離之比是

2

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設曲線Γ上的三點A（x₁，y₁），B（1，

2

2

），C（x₂，y₂）與點F的距離成等差數列，線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T，求直線BT的斜率k．

Answer 1

考點：軌跡方程,等差數列的通項公式

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，由此能求出動點P的軌跡C₁的方程和軌跡是什么圖形．
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）因為2|BF|=|AF|+|CF|，所以x₁+x₂=2，故線段AC的中點為（1，

y1+y2

2

），其垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），由此能求出直線BT的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，得

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

．…（2分）
兩邊平方，化簡得

x2

2

+y2=1．
故軌跡Γ的方程是

x2

2

+y2=1． …（4分）
（Ⅱ）由已知可得|AF|=

2

2

（2-x₁），|BF|=

2

2

（2-1），|CF|=

2

2

（2-x₂）．…（6分）
因為2|BF|=|AF|+|CF|，所以

2

2

（2-x₁）+

2

2

（2-x₂）=2×

2

2

（2-1），
即得x₁+x₂=2，①…（5分）．
故線段AC的中點為（1，

y1+y2

2

），
其垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

（x-1），②…（6分）．
因為A，C在橢圓上，所以代入橢圓，兩式相減，把①代入化簡得：-

x1-x2

y1-y2

=y₁+y₂． ④…（10分）
把④代入②，令y=0得，x=0.5，∴點T的坐標為（0.5，0）．…（11分）
∴直線BT的斜率k=

2 2 -0

1-0.5

=

2

．…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．