Question

在數列{a_n}中，已知a₂=1，前n項和為S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．（其中n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求

lim

n→+∞

Sn

n2

；
（3）設lgbn=

an+1

3n

，問是否存在正整數p、q（其中1＜p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組（p，q）；否則，說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）先令n=2，求出a₁=0利用遞推關系式，Sn=

n(an-a1)

2

．得到S_n+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

，作差得（n-1）a_n+1=na_n ③，從而有na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，③+④，根據等差數列中項公式即可證明；
（2）利用（1）的結論直接求出極限．
（3）根據等比數列的定義和通項公式，建立方程進行求解即可得到結論．

解答： 解：（1）因為Sn=

n(an-a1)

2

，①
令n=2，得a1+a2=

2(a2-a1)

2

，
所以a₁=0；
S_n+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

，②
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以數列{a_n}是以0為首項，1為公差的等差數列．
所以a_n=n-1．            （ 6分）
（2）∵a_n=n-1，
∴S_n=0+1+2+…+n-1=

(n-1)(n-2)

2

=

n2-3n+2

2

∴

lim

n→+∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n2-3n+2

2n2

=

1

2

…（ 9分）
（3）假設存在正整數p、q，使得b₁，b_p、b_q成等比數列，則lgb₁，lgb_p、lgb_q成等差數列，故

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

，（**）…（ 11分）
由于右邊大于

1

3

，則

2p

3p

＞

1

3

，即

p

3p

＞

1

6

．
因為

p+1

3p+1

-

p

3p

=

1-2p

3p+1

＜0，
所以數列{

p

3p

}為單調遞減數列．…（ 14分）
當p=2時，

p

3p

=

2

9

＞

1

6

，代入（**）式得

q

3q

=

1

9

，
解得q=3；當p≥3時，

p

3p

≤

1

9

（舍）．
綜上得：滿足條件的正整數組（p，q）為（2，3）．…（ 16分）

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式求數列的通項公式，極限的應用，存在性問題的應用．屬于中等題型．