Question

已知向量

a

=（sinx，1），

b

=（cosx，-

1

2

）
（1）當

a

⊥

b

時，求|

a

+

b

|的值；
（2）求函數f（x）=

a

•(

b

-

a

)的最小正周期；
（3）已知f（x₀）=-

3

2

，且x₀∈[0．π]，求x₀的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：由已知利用向量的數量積坐標運算求出f（x）的解析式，然后利用三角函數公式化簡求周期等．

解答： 解：因為向量

a

=（sinx，1），

b

=（cosx，-

1

2

）
所以（1）當

a

⊥

b

時，

a

•

b

=sinxcosx-

1

2

=0，所以sin2x=1，|

a

+

b

|²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=sin²x+1+cos²x+

1

4

+0=

9

4

，
所以|

a

+

b

|=

3

2

；
（2）函數f（x）=

a

•(

b

-

a

)=

a

•

b

-

a

2=sinxcosx-

1

2

-sin²x-1=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x-2=

2

2

sin(2x+

π

4

)-2，
所以f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（3）已知f（x₀）=-

3

2

，由（2）得

2

2

sin(2x0+

π

4

)-2=-

3

2

，所以sin（2x₀+

π

4

）=

2

2

，且x₀∈[0．π]，所以2x₀+

π

4

∈[

π

4

，

9

4

π]，
所以x₀的值為

π

4

，

3

4

π，

9

4

π．

點評：本題考查了向量的坐標運算以及三角函數的化簡與求值，關鍵是由向量的坐標運算后，利用三角函數公式將解析式化為一個角的一個三角函數的形式．