Question

△ABC中，若三邊a，b，c依次成等比數列，且cosB=

3

4

，cos2A-cos2C=2sinAsinC，
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,等比數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）運用等比數列的性質和二倍角的余弦公式，及正弦定理即可化簡等式為c²-a²=ac=b²，即可判斷三角形的形狀；
（2）運用向量的數量積的定義和余弦定理，即可得到a，c的方程，解得即可．

解答： 解：（1）三邊a，b，c依次成等比數列，則b²=ac，
cos2A-cos2C=2sinAsinC即有（1-2sin²A）-（1-2sin²C）=2sinAsinC，
即有sin²C-sin²A=sinAsinC，
由正弦定理，可得，c²-a²=ac=b²，即a²+b²=c²，
即有△ABC為直角三角形；
（2）若

BA

•

BC

=

3

2

，且cosB=

3

4

則cacosB=

3

4

ac=

3

2

，即有ac=2，
由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-3，
又b²=c²-a²，
即有a=

6

2

，c=

2 6

3

，
則a+c=

7 6

6

．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查二倍角公式和平面向量的數量積的定義，考查運算能力，屬于中檔題．