Question

如圖，設橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關于對稱，且

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值。

 

 

Answer 1

（1）；（2）4.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、勾股定理、點到直線的距離、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，先通過對稱性得到B點坐標，利用兩點間距離公式得的3個邊長，利用勾股定理列出關系式，化簡出離心率e的值；第二問，利用第一問知是邊長為a的正三角形，利用三角形面積，得到a的值，從而得到b和c的值，由于，所以圓是以為圓心，為半徑，則可直接寫出圓的方程，因為點p到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑，所以利用點到直線的距離公式計算即可.

試題解析：（1）

由及勾股定理可知，即

因為，所以，解得

（2）由（1）可知是邊長為的正三角形，所以

解得

由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑

即點在圓上，

因為圓心到直線的距離為

故該圓與直線相切，所以點到直線的最大距離為

考點：橢圓的標準方程、勾股定理、點到直線的距離、直線與圓的位置關系.