Question

下列四個命題：
①（x+

1

x

+2）⁵的展開式共有6項；
②設回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當變量x增加-個單位時，y平均增加2.5個單位；
③已知ξ服從正態分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，則P（ξ＞2）=0.2；
④已知函數f（a）=

∫

a 0

sinxdx，則f[f（

π

2

）]=1-cos1．
其中正確命題的個數為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：導數的綜合應用,概率與統計,二項式定理

分析：①，將已知關系式轉化為（x+

1

x

+2）⁵=

(x+1)10

x5

，利用二項式定理可知展開式共有11項，可判斷①；
②，設回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當變量x增加-個單位時，y平均減少2.5個單位，可判斷②；
③，利用正態分布的概率公式，可求得P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，可判斷③；
④，利用微積分基本定理可求得f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，繼而可求得f[f（

π

2

）]=1-cos1，可判斷④．

解答： 解：對于①，（x+

1

x

+2）⁵=(

x2+2x+1

x

)5=

(x+1)10

x5

展開式共有11項，故①錯誤；
對于②，設回歸直線方程為

^y

=2-2.5x，當變量x增加-個單位時，y平均減少2.5個單位，故②錯誤；
對于③，∵ξ服從正態分布N （0，σ²），且P（-2≤ξ≤0）=0.4，
∴P（0≤ξ≤2）=0.4，
∴P（ξ＞2）=0.5-P（0≤ξ≤2）=0.5-0.4=0.1，故③錯誤；
對于④，∵f（a）=

∫

a 0

sinxdx=-cosx

|

a 0

=1-cosa，
∴f（

π

2

）=1-cos

π

2

=1，
∴f[f（

π

2

）]=f（1）=1-cos1，故④正確．
綜上所述，正確命題的個數為1個，
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查二項式定理、回歸方程、正態分布及微積分基本定理的應用，考查轉化思想與運算求解能力．