Question

已知函數f（x）為偶函數，且當x≥0時，f（x）=2^x-a，且f（-2）=3，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求滿足f（x）＞1的x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用偶函數的定義f（-x）=f（x），先求出a的值，把x≤0轉化為-x≥0，再利用x≥0時，f（x）=2^-x-1．
（2）需要分類討論，即可求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函數f（x）是定義域為R上的偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-2）=f（2），
∵x≥0時，f（x）=2^x-a，f（-2）=3
∴2²-a=3，
解得a=1，
∴x≥0時，f（x）=2^x-1，
令x＜0則-x＞0，
∴f（-x）=2^-x-1=(

1

2

)x-1=f（x）
即x＜0時f（x）=(

1

2

)x-1=
故f（x）=

2x-1，x≥0 ( 1 2 )x-1，x＜0

，
（2）當x≥0時，f（x）＞1，
∴2^x-1＞1，
解得，x＞1，
當x＜0時，f（x）＞1，
∴2^-x-1＞1，
解得-2＜x＜0，
綜上所述不等式的解集為（-2，0）∪（1，+∞）

點評：本題考查了函數的解析式的求法，函數的奇偶性，以及不等式的解法，屬于基礎題