Question

如圖，設A是圓x²+y²=6上的動點，點B是A在x軸上投影，M為AB上一點，且|MB|=

3

3

|AB|．當A在圓上運動時，點M的軌跡為曲線G．過點（m，0）（m＞

6

）且傾斜角為

5π

6

的直線l交曲線G于C，D兩點．
（1）求曲線G的方程；
（2）若點F是曲線G的右焦點且∠CFD∈[

π

3

，

π

2

]，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點M的坐標是（x，y），A（x_A，x_B），由已知得x_A=x，且yA=

3

y，由此能求出G的方程．
（2）直線l交曲線G于C，D兩點，且∠CFD∈[

π

3

，

π

2

]．由題意得直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)．（m＞

6

）．由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

，得2x²-2mx+m²-6=0．由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設點M的坐標是（x，y），A（x_A，x_B），
因為點B是A在x軸上投影，M為AB上一點，
且|MB|=

3

3

|AB|，所以x_A=x，且yA=

3

y，
∵A在圓x²+y²=6上，∴x2+(

3

y)2=6，
整理得

x2

6

+

y2

2

=1．即G的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）如下圖，直線l交曲線G于C，D兩點，
且∠CFD∈[

π

3

，

π

2

]．
由題意得直線l的方程為y=-

3

3

(x-m)．（m＞

6

）．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

，消去y，得2x²-2mx+m²-6=0．
由△=4m²-8（m²-6）＞0，解得-2

3

＜m＜2

3

．
又m＞

6

，∴

6

＜m＜2

3

．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，
∴y1y2=[-

3

3

(x1-m)]•[-

3

3

(x2-m)]=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

．
∵

FC

=（x₁-2，y₁），

FD

=（x₂-2，y₂）．
∴

FC

•

FD

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=

4

3

x1x2-

m+6

3

(x1+x2)+

m2

3

+4
=

2(m2-3m)

3

．
又由橢圓方程，知y2=

6-x2

3

，
∵|

FC

|=

(x1-2)2+y12

=

(x12-4x1+4)+ 6-x12 3

=

2 3 (x1-3)2

=

2 3

(3-x1)，
|

FD

|=

(x2-2)2+y22

=

(x22-4x2+4)+ 6-x22 3

=

2 3 (x2-3)2

=

2 3 (3-x2)

，
∴|

FC

||

FD

|=

2

3

(3-x1)(3-x2)=

2

3

[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]
=

1

3

(m2-6m+12)，
∴cos∠CFD=

FC • FD

| FC |•| FD |

=

2 3 (m2-3m)

1 3 (m2-6m+12)

=

2(m2-3m)

m2-6m+12

．
∵∠CFD∈[

π

3

，

π

2

]，∴cos∠CFD∈[0，

1

2

]．
∴0≤

2(m2-3m)

m2-6m+12

≤

1

2

，
∴

2(m2-3m)≥0 m2-2m-4≤0

，∴

m≤0或m≥3 1- 5 ≤m≤1+ 5

，
故1-

5

≤m≤0或3≤m≤1+

5

，
又

6

＜m＜2

3

，故3≤m≤1+

5

．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．