Question

某校為組建校籃球隊，對報名同學進行定點投籃測試，規定每位同學最多投3次，每次在A或B處投籃，在A處投進一球得3分，在B處投進一球得2分，否則得0分，每次投籃結果相互獨立，將得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就認為通過測試，立即停止投籃，否則繼續投籃，直到投完三次為止．投籃方案有以下兩種：
方案1：先在A處投一球，以后都在B處投；
方案2：都在B處投籃．
已知甲同學在A處投籃的命中率為0.4，在B投投籃的命中率為0.6．
（Ⅰ）甲同學若選擇方案1，求X=2時的概率；
（Ⅱ）甲同學若選擇方案2，求X的分布列和期望；
（Ⅲ）甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大？請說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：計算題,概率與統計

分析：（Ⅰ）在A處投籃命中記作事件A，不中記作事件

.

A

；在B處投籃命中記作事件B，不中記作事件

.

B

；甲同學若選擇方案1，X=2即事件為

.

A

B

.

B

∪

.

A

.

B

B；從而求概率；
（Ⅱ）甲同學若選擇方案2，測試結束后，所得總分X的所有可能有：0，2，4；分別求概率得到分布列，并求數學期望；
（Ⅲ）設甲同學選擇方案1通過測試的概率為P₂=0.4+0.6×0.6×0.6=0.616；再由（Ⅱ）知，甲同學選擇方案2通過測試的可能性更大．

解答： 解：（Ⅰ）在A處投籃命中記作事件A，不中記作事件

.

A

；
在B處投籃命中記作事件B，不中記作事件

.

B

；
甲同學若選擇方案1，X=2即事件為

.

A

B

.

B

∪

.

A

.

B

B；
則其概率為（1-0.4）×0.6×（1-0.6）+（1-0.4）×（1-0.6）×0.6=0.288；
（Ⅱ）甲同學若選擇方案2，測試結束后，所得總分X的所有可能有：0，2，4；
則P（X=0）=（1-0.6）（1-0.6）（1-0.6）=0.064；
P（X=2）=

C

1 3

（1-0.6）（1-0.6）×0.6=0.288；
P（X=4）=0.6×0.6+2×0.6×0.6×（1-0.6）=0.648；
故分布列為：

X	0	2	4
P	0.064	0.288	0.648

則數學期望EX=0×0.064+2×0.288+4×0.648=3.168；
（Ⅲ）設甲同學選擇方案1通過測試的概率為P₂，
P₂=0.4+0.6×0.6×0.6=0.616；
又選擇方案2通過測試的概率為0.648＞0.616；
所以甲同學選擇方案2通過測試的可能性更大．

點評：本題考查了分布列及數學期望，屬于中檔題．