Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC．
（1）求證：平面MOE∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面PCB；
（3）求三棱錐O-PBC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用三角形的中位線定理可得OE∥PA．即可得出OE∥平面PAC．再利用OM∥AC，可得OM∥平面PAC．再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE∥平面PAC．
（2）點C在以AB為直徑的⊙O上，可得BC⊥AC．利用PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC．可得BC⊥平面PAC．即可得出平面PAC⊥平面PCB．
（3）利用V_{三棱錐O-PBC}=V_{三棱錐P-OBC}=

1

3

•S△OBC•PA即可得出．

解答： （1）證明：∵點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，
∴OE∥PA．
∵PA?平面PAC，OE?平面PAC，
∴OE∥平面PAC．
又∵OM∥AC，AC?平面PAC，OM?平面PAC，
∴OM∥平面PAC．
∵OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
∴平面MOE∥平面PAC．
（2）證明：∵點C在以AB為直徑的⊙O上，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC．
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PCB．
（3）V_{三棱錐O-PBC}=V_{三棱錐P-OBC}=

1

3

•S△OBC•PA=

1

3

×

1

2

×1×1×sin120°×2=

3

6

．

點評：本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式、三角形的中位線定理，考查了推理能力與計算能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題．