Question

在四棱錐S-ABCD中，側面SAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是矩形且BC=2

3

．
（1）若平面SAB⊥平面SAD，求該四棱錐的側面積；
（2）若平面SAB⊥平面SCD，求該四棱錐的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）BC⊥側面PAB，同理AD⊥側面PAB，Rt△SAD≌Rt△SBC，分別求解各個側面即可．
（2）取AD，BC中點，F，E，連接SF，SE，SO⊥底面ABCD，得出∠FSE為SAB與平面SCD成的平面角，OE=

3

，高OS=

3

，運用體積公式求解即可．

解答： 解：（1）四棱錐S-ABCD中，側面SAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是矩形且BC=2

3

．
∵平面SAB⊥平面SAD，
∴且側面PAB與底面ABCD的交線是AB，
∴在矩形ABCD中，BC⊥側面PAB，
同理AD⊥側面PAB，
∴Rt△SAD≌Rt△SBC，
∴S_△SAD=S_△SBC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
S_△SAB=

3

4

×2²=

3

，h=

(2 3 )2+( 3 )2

15

S_△SCD=

1

2

×2×h=

15

，
∴該四棱錐的側面積：

3

+4

3

+

15

=5

3

+

15

，


（2）∵平面SAB⊥平面SCD，
∴取AD，BC中點，F，E，連接SF，SE，SO⊥底面ABCD，
∴SF⊥AD，SE⊥BC，BC∥AD，
平面SAB∩平面SCD=l，
∴BC∥AD∥l，
∴SF⊥l，SE⊥l，
∴∠FSE為SAB與平面SCD成的平面角，
即∴∠FSE為90°，
根據幾何體的性質得出Rt△FSE為等腰直角三角形，
OE=

3

，
∴OS=

3

，
∴該四棱錐的體積=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×

3

=2

點評：本題考查了空間幾何體的體積，面積，問題，關鍵是運用幾何體的性質求解線段的長度，轉化為平面問題求解，屬于中檔題．