Question

已知函數y=f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，（n∈N*），并且對于任意的n∈N*函數y=f（x）的圖象恒經過點（1，n²），
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求f（-1）（用n表示）
（Ⅲ）求證：若n≥2（n∈N*），則有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，由此能求出a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）n為偶數時，f（-1）=n，n為奇數時，f（-1）=-n，由此能求f（n）=（-1）ⁿn．n∈N^*．
（Ⅲ）由f（

1

2

）=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，得f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，由此能求出若n≥2（n∈N^*），則有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．

解答： （本題滿分14分）
（Ⅰ）解：設數列{a_n}的前n項和為S_n，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，…（1分）
當n=1時，a₁=S₁=1，…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²2n-1，…（3分）
∵n≥2時，a_n=2n-1對于n=1也同樣適用，
∴a_n=2n-1，n∈N^*．…（4分）
（Ⅱ）解：n為偶數時，f（-1）=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=

n

2

•2=n，…（5分）
n為奇數時，f（-1）=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_n-1-a_n-2）-a_n
=

n-1

2

•2-(2n-1)=-n，…（6分）
∴f（n）=（-1）ⁿn．n∈N^*．…（7分）
（Ⅲ）證明：∵f（

1

2

）=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，
∴f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，…（8分）
當n=2時，f（

1

2

）=

1

2

+

3

2n

=

5

4

，…（9分）
當n≥3時，f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

＞

1

2

+

3

22

=

5

4

，…（10分）
∵f(

1

2

)=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，…①
∴

1

2

f(

1

2

)=

a1

22

+

a2

23

+

a3

24

+…+

an

2n+1

，…②…（11分）
由①-②得

1

2

f(

1

2

)=

a1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
即

1

2

f(

1

2

)=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴f（

1

2

）=3-

2n+3

2n

，…（12分）
∵

2n+3

2n

＞0，∴f（

1

2

）=3-

2n+3

2n

＜3，…（13分）
∴若n≥2（n∈N*），則有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．…（14分）

點評：本題考查數列{a_n}的通項公式的求法，考查f（-1）的求法，考查n≥2（n∈N^*），則有

5

4

≤f（

1

2

）＜3的證明，解題時要注意錯位相減法的合理運用．