Question

兩個半徑為1的球O₁，O₂相外切，且它們都與半徑為1的圓柱內側面相切，另一小球O₃與球O₁，O₂都相外切，且與圓柱內側面相切．過小球球心O₃和大球球心O₁的平面與圓柱面相交成一個橢圓，則該橢圓的離心率的最小值為多少？

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設小球的半徑為r，由兩圓外切的條件，列出方程（1+r）²=1+（1-r）²，解得r，再分別求得短軸長即為2，長軸長即為2a=

2

cos∠O1O3A

，再由a，b，c的關系，求得c，再由離心率公式即可得到．

解答： 解：設小球的半徑為r，
由兩圓外切的條件，在直角△O₁O₃A中，
可得，（1+r）²=1+（1-r）²，
解得，r=

1

4

，
cos∠O₁O₃A=

1-r

1+r

=

3

5

，
則橢圓的長軸長為2a=

2

cos∠O1O3A

=

2

3 5

=

10

3

，
短軸長為2b=2，
則c²=a²-b²=

25

9

-1=

16

9

，
即有c=

4

3

，
則離心率e=

c

a

=

4 3

5 3

=

4

5

．
則該橢圓的離心率的最小值為

4

5

．

點評：本題考查橢圓的性質：離心率的求法，考查兩圓的相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．