Question

（普通文科做）已知f（x）=x³+bx²+9x+a有兩個極值點，求：
（1）b的取值范圍；
（2）當x=1時，切線的斜率為0．求f（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意求導f′（x）=3x²+2bx+9，從而可得△=4b²-4×3×9＞0，從而求得；
（2）令f′（1）=3+2b+9=0解得b=-6；從而求得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；根據導數的正負確定函數的單調性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+9x+a，
∴f′（x）=3x²+2bx+9，
又∵f（x）=x³+bx²+9x+a有兩個極值點，
∴△=4b²-4×3×9＞0，
解得，b＞3

3

或b＜-3

3

；
（2）由題意，f′（1）=3+2b+9=0，
解得b=-6；
故f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
故當x＞3或x＜1時，f′（x）＞0；
當1＜x＜3時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區間為（-∞，1），（3，+∞）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．