Question

（文科實驗做）已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）若曲線y=g（x）有平行于x軸的切線，求a的取值范圍；
（2）若當x=-1，y=g（x）取得極值，且g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個根，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）利用偶函數的定義列出恒成立的等式，求出b的值；將點（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的導函數，令導函數等于0有實根，令方程的判別式大于等于0求出a的范圍．
（2）令導函數在x=1處的值為0，求出a的值；令g（x）的導函數大于0得到g（x）的單調遞增區間，令導函數小于0得到g（x）的單調遞減區間，可得g（x）在（-2，-1）上為增函數，在（-1，-

1

2

）上為減函數，利用g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個根，求k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有平行于x軸的切線，即曲線y=g（x）有斜率為0的切線，
∴有g′（x）=0有實數解．
即3x²+2ax+1=0有實數解．
此時有△=4a²-12≥0
解得a≤-

3

或a≥

3

所以實數a的取值范圍：a≤-

3

或a≥

3

；
（2）因x=-1時函數y=g（x）取得極值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
故g（x）在（-2，-1）上為增函數，在（-1，-

1

2

）上為減函數
∵g（-2）=0，g（-

1

2

）=

15

8

，g（-1）=2，g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有兩個根，
∴k的取值范圍是[

15

8

，2）．

點評：解決函數的奇偶性問題，一般利用奇函數、偶函數的定義找關系；注意具有奇偶性的函數的定義域關于原點對稱；利用導數判斷函數的單調性：導函數大于0則函數遞增；導函數小于0則函數遞減．