Question

已知過點 M（

p

2

，0）的直線 l與拋物線 y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且 

OA

•

OB

=-3，其中O為坐標原點．
（1）求p的值；
（2）若圓x²+y²-2x=0與直線l相交于以C，D（A，C兩點均在第一象銀），且線段AC，CD，DB長構成等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線的一般式方程

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直線l：x=my+

p

2

，代入拋物線方程，運用韋達定理，及平面向量的數量積的坐標表示，即可得到p=2；
（2）求出AB的長，用m表示，再由等差數列的性質，以及CD為圓的直徑，即可得到m的方程，解出m，即可得到直線l的方程．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁），Bx₂，y₂），直線l：x=my+

p

2

，
代入拋物線方程，消去x，得，y²-2pmy-p²=0，
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
由于

OA

•

OB

=-3，即x₁x₂+y₁y₂=-3，
x₁x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

，
即有

p2

4

-p²=-3，解得，p=2；
（2）由（1）得，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
則（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16（1+m²），
|AB|²=（y₁-y₂）²+（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²+（

y12-y22

4

）²=（y₁-y₂）²[1+（

y1+y2

4

）²]
=16（1+m²）²，即有|AB|=4（1+m²），
由于線段AC，CD，DB長構成等差數列，則2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|-|CD|
=|AB|-|CD|，
又CD為圓x²+y²-2x=0的直徑，即有|CD|=2，
則4（1+m²）=6，解得，m=±

2

2

，
則直線l的方程是

2

x+y-

2

=0或

2

x-y-

2

=0．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查直線方程和拋物線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理，考查等差數列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．