Question

求證：x

1

3

+y

1

3

=1為軸對(duì)稱圖形．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)

專題：證明題,直線與圓

分析：在方程表示的圖形上任取一點(diǎn)P（m，n），則m

1

3

+n

1

3

=1，則有點(diǎn)Q（n，m）也在方程表示的圖形上．求出PQ的中垂線方程，即可得證．

解答： 證明：由于x

1

3

+y

1

3

=1，則x＞0，y＞0，
在方程表示的圖形上任取一點(diǎn)P（m，n），
則m

1

3

+n

1

3

=1，
則有點(diǎn)Q（n，m）也在方程表示的圖形上．
由于PQ的中點(diǎn)M為（

m+n

2

，

m+n

2

），
直線PQ的斜率為

n-m

m-n

=-1，
則有直線PQ的中垂線方程為：y-

m+n

2

=x-

m+n

2

，
即P，Q關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
由于P為任意的點(diǎn)，則P關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)都在方程表示的圖形上．
則x

1

3

+y

1

3

=1為軸對(duì)稱圖形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的對(duì)稱性，考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的特點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．