Question

三棱柱 ABC-A₁B₁C₁′中，∠ABC=90°，AA₁=AC=BC=2，A₁在底面ABC內的射影為AC的中點D．
（1）求證：BA₁⊥AC₁；
（2）求三棱錐 B₁-A₁DB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據直線平面的垂直得出BC⊥AC₁，再判斷出四邊形ACC₁A₁為菱形，即AC₁⊥A₁C，運用判斷定理可得得證AC₁⊥平面A₁BC，BA₁⊥AC₁，
（2）轉化體積問題）V B1-A1DB=V B-A1B1D=V D-A1BB1=

1

2

V C1-A1B1B=

1

2

VB-A1B1C=

1

6

V ABC-A1B1C1運用體積公式求解即可．

解答： （1）證明：∵A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面ACC₁A₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∵BC?平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AA₁=CA，
∴四邊形ACC₁A₁為菱形，即AC₁⊥A₁C，
∵A₁C，BC?平面A₁BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵BA₁?平面A₁BC，
∴BA₁⊥AC₁，

（2）V B1-A1DB=V B-A1B1D=V D-A1BB1=

1

2

V C1-A1B1B=

1

2

VB-A1B1C=

1

6

V ABC-A1B1C1=

1

6

×2×2×

1

2

×

3

=

3

3

點評：本題考查了空間幾何體的性質，運用直線平面的垂直的判斷，性質，解決問題，求解體積，屬于中檔題．