Question

已知雙曲線兩焦點F₁，F₂，其中F₁為y=-

1

4

(x+1)2+1的焦點，兩點A （-3，2）B （1，2）都在雙曲線上，
（1）求點F₁的坐標；
（2）求點F₂的軌跡方程；
（3）若直線y=x+t與F₂的軌跡方程有且只有一個公共點，求實數t的值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出拋物線x²=-4y的焦點坐標，利用圖象平移得到y=-

1

4

(x+1)2+1的焦點坐標；
（2）設出F₂的坐標，結合A，B在雙曲線上由雙曲線的定義列式求得點F₂的軌跡方程；
（3）聯立直線方程和F₂的軌跡方程，化為關于x的一元二次方程后利用判別式等于0求得t的值．

解答： 解：（1）由y=-

1

4

(x+1)2+1，得（x+1）²=-4（y-1），
∵x²=-4y的焦點坐標為（0，-1），
∴（x+1）²=-4（y-1）的焦點坐標為（-1，0），
∴點F₁的坐標為（-1，0）；
（2）設F₂（x，y），則||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，
即|

(-3+1)2+(2-0)2

-

(-3-x)2+(2-y)2

|=|

(1+1)2+(2-0)2

-

(1-x)2+(2-y)2

|，
整理得：x²+2x+2y²-8y+1=0（x≠-1）；
（3）聯立

y=x+t x2+2x+2y2-8y+1=0

，得：3x²+（4t-6）x+2t²-8t+1=0．
△=（4t-6）²-12（2t²-8t+1）=-8t²+48t+24=0，解得：t=3±2

3

．
∴直線y=x+t與F₂的軌跡方程有且只有一個公共點的實數t的取值是3±2

3

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，是中檔題．