Question

12．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*）．
（1）求a₂₀₁₇的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$（n≥2，n∈N^*），求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=2（S_n+1），可得n≥2時，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），相減可得：a_n+1-a_n-1=2，利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）由a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*），n=1時，a₁a₂=2（a₁+1），即2a₂=2×3，解得a₂，由a_n+1-a_n-1=2，可得數列{a_n}的奇數項與偶數項都成等差數列，公差為2．即可得出．
（3）數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_na_n+1=2（S_n+1），∴n≥2時，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），相減可得：a_na_n+1-a_n-1a_n=2a_n，a_n≠0．
∴a_n+1-a_n-1=2，又a₁=2，
∴a₂₀₁₇=2+（1009-1）×2=2018．
（2）由a_na_n+1=2（S_n+1）（n∈N^*），n=1時，a₁a₂=2（a₁+1），即2a₂=2×3，解得a₂=3，
由a_n+1-a_n-1=2，可得數列{a_n}的奇數項與偶數項都成等差數列，公差為2．
∴a_2k-1=2+2（k-1）=2k，a_2k=3+2（k-1）=2k+1．
∴a_n=n+1．
（3）數列{b_n}滿足b₁=1，b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，
∴{b_n}的前n項和T_n=$（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+$（\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）$+…+$（\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}）$=1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．