Question

3．已知函數f（x）=ax³+bx（x∈R）．
（1）若函數f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線x+24y+1=0垂直，函數f（x）在x=1處取得極值，求函數f（x）的解析式．并確定函數的單調遞減區間；
（2）若a=1，且函數f（x）在[-1，1]上減函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（3），f′（1），得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數的單調區間，問題轉化為b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）已知函數f（x）=ax³+bx（x∈R），
∴f'（x）=3ax²+b．
又函數f（x）圖象在點x=3處的切線與直線c垂直，
且函數f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（3）=27a+b=21，
且f'（1）=3a+b=0，計算得出a=1，b=-3．
∴f（x）=x³-3x令f'（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，
所以函數的單調遞減區間為[-1，1]．
（2）當a=1時，f（x）=x³+bx（x∈R），
又函數f（x）在[-1，1]上是減函數，
∴f'（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立，
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，∴b≤-3，
當b=-3時，f′（x）不恒為0，
∴b≤-3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．