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19.如圖,已知等邊△ABC的邊長為2,⊙A的半徑為1,PQ為⊙A的任一條直徑,則$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$的值為(  )
A.-1B.1C.2D.-2

分析 由題意可得$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$,|$\overrightarrow{AP}$|=1,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2,再根據 $\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=($\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$)•($\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$)-$\overrightarrow{AP}$•(-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$),計算求得結果.

解答 解:等邊△ABC的邊長為2,⊙A的半徑為1,PQ為⊙A的任一條直徑,如圖所示:
∴$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$,|$\overrightarrow{AP}$|=1,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2•cos60°=2,
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=($\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$)•($\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$)-$\overrightarrow{AP}$•(-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$)=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$
=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-1+2=1,
故選:B.

點評 本題主要考查向量知識在幾何中的應用問題.一般在求解此類問題時,常用三角形法則或平行四邊形法則把問題轉化,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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