Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，過右焦點F的直線與兩條漸近線分別交于點A、B且與其中一條漸近線垂直，若△OAB的面積為$\frac{8}{3}$，其中O為坐標原點，則雙曲線的焦距為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到漸近線y=$\frac{b}{a}$x的距離為b，即有|OB|=a，△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$a•atanθ，結合條件可得a，b的關系，再由離心率公式即可計算得到．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，a²+b²=c²，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
設兩條漸近線的夾角為θ，則tanθ=tan∠AOB=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
設FB⊥OB，則F到漸近線y=$\frac{b}{a}$x的距離為d=b，
即有|OB|=a，
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，即2c=2$\sqrt{5}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和離心率公式，以及點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．