Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，若對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱，取特殊值：令x=y=0，可得f（0）=0令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0；利用定義法證明函數(shù)的單調性：在R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，判斷f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x）=f（x₂）-f（x₁）＞0．

解答 解：（1）f（x）定義在R上，令x=y=0，可得f（0）=0
（2）∵f（x）定義在R上，定義域關于原點對稱，由（1）得f（0）=0，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）在R上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 考察了抽象函數(shù)的賦值法，奇偶性和單調性的證明，該類型為常規(guī)題型，應熟練掌握證明方法．