Question

14．如圖，已知PB⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分別是BC，PD的中點，∠PAB=45°，AB=1，BC=2．
（1）求證：EF∥平面PAB；   
（2）求證：平面PED⊥平面PAD；
（3）求三棱錐E-PAD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點N，連接NB，NF，推導出NFEB是平行四邊形，從而EF∥BN，由此能證明EF∥平面PAB．
（2）推導出PB⊥AD，PB⊥AB，從而AD⊥平面PAB，進而AD⊥BN，再求出BN⊥PA，從而EF⊥平面PAD，由此能證明平面PED⊥平面PAD．
（3）由V_E-PAD=V_P-EAD，能求出三棱錐E-PAD的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）取PA的中點N，連接NB，NF，又F是PD的中點，
∴NF∥AD，NF=$\frac{1}{2}AD$．
在矩形ABCD中，E是BC的中點，
∴BE∥AD，BE=$\frac{1}{2}AD$．
∴NF∥BE且NF=BE，得NFEB是平行四邊形，
∴EF∥BN．
∵BN?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB…（4分）
（2）依題意 PB⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，
∴PB⊥AD，PB⊥AB．又AD⊥AB，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB，
∵BN?平面PAB，∴AD⊥BN，
在Rt△PAB中，∠PAB=45°，N是PA的中點，∴BN⊥PA，
又AD∩PA=A，∴BN⊥平面PAD，由（1）EF∥BN，∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面PED，∴平面PED⊥平面PAD…（8分）
解：（3）由（2）知等腰Rt△PAB中，PB=AB=1，且PB是三棱錐P-EAD的高．
又    S_△EAD=$\frac{1}{2}AB•AD=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴三棱錐E-PAD的體積V_E-PAD=V_P-EAD=$\frac{1}{3}$S_△EAD•PB=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力、推理誰能力、數形結合思想、轉化思想以及計算能力，是中檔題．