Question

4．函數f（x）是定義在R上的奇函數，對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，記a=-log₂3•f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2），b=f（1），c=4f（0.5²），則（　　）

• A． c＜b＜a
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，可得g（x）在（0，+∞）上單調遞增，分別化簡a，b，c，即可得出結論．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∵對任意兩個不相等的正數x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∵a=-log₂3•f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2）=g（log${\;}_{\frac{1}{3}}$2），b=f（1）=g（1），c=4f（0.5²）=g（0.5²），log${\;}_{\frac{1}{3}}$2＜0＜0.5²＜1，
∴c＜a＜b．
故選：C．

點評 本題考查大小比較，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，正確構造函數是關鍵．