Question

9．設a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$則數列{a_n}的通項公式是a_n=（　　）

• A． $\frac{{{2^n}+1}}{{{2^{n-1}}}}$
• B． $\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$
• C． $\frac{{{2^n}+1}}{{{2^{n+1}}}}$
• D． $\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}}}$

Answer 1

分析 a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$，變形為：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a₁=3，${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1（n≥2，n∈{N^*}）$，
變形為：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
∴數列{a_n-2}是等比數列，首項為1，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n-2=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=2+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$．
故選：A．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的定義通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．